2.3 找到特征点
到现在，我们已经生成了一个尺度空间，并且使用尺度空间来计算Difference of Gaussian，它们被用于计算尺度不变性的Laplacian of Gaussian的近似。通过得到的DoG图像可以找到好的特征点，分为两个子步骤：1. 在DoG图像中找到极大或极小像素点
2. 找到子像素级的极大极小值点
极大或极小像素点
第一步是粗糙地找到极大极小值像素点，这很简单，我们可以扫描每个像素并且检测所有的邻接像素点，邻接像素点不仅包括当前图像中的邻接像素，而且包括上一层和下一层图像中的邻接像素。 图2.6 在DoG图像中找极大极小像素点
X标记当前像素点，绿色的圈标记邻接像素点，用这个方式，最多检测26个像素点。X被标记为特征点，如果它是所有邻接像素点的最大值或最小值点。
通常对于非极大或极小值点不需要遍历所有26个邻接像素点，少数的几个检测就足够抛弃它。注意最高层和最底层的尺度是不需要检测的，经过上一个操作，我们从每组图像中得到4幅DoG图像，只需要对中间的两幅DoG图像进行极大极小值像素点进行检测。
这步结束后，所标记的点就是近似的极大极小值点，之所以说是“近似的”是因为极大极小值点都不会巧好在像素点的位置上，它一般位于像素的中间，但是我们无法直接访问像素间的数据，所以我们需要通过插值得到子像素的位置。如下图所示：
图2.7 子像素的极大极小像素点
红色的叉标记图像中的像素，但是真正的极值点是绿色的位于像素间的点。
子像素的极大或极小像素点
使用可用的像素数据，可以生成子像素的值，它通过近似的特征点附近图像的Taylor展开来计算，数学上的形式如下：
通过对x求偏导并将结果置为零，我们可以简单地计算出方程的极值，从而得到子像素特征点的位置，这些子像素点可以增加匹配和算法稳定性的机率。
若子像素点与近似特征点间的偏移量大于0.5，则按照偏移近似特征点的方向相应改变（移动）特征点，然后再把该点当做近似特征点，重复该操作，直到子像素点与近似特征点间的偏移量小于等于0.5。
实现细节
图2.8给出了经过上面两个子步骤得到的子像素极大极小值点，SIFT算法的作者建议生成两个极值点图像，所以我们只需要4幅DoG图像。为了生成4幅DoG图像，我们需要5幅高斯模糊的图像，因此每组图像需要5层模糊图像。该图中，我们只显示了一组图像，但程序中要对每组图像都这么执行。
图2.8 在一组DoG图像中找出特征点
2.4 消除边界和低对比度的特征
从上一步能产生许多特征点，其中的一些特征点位于边界，或者亮度上没有足够的对比度。在这些情况下，它们都不是有用的特征，所以我们要抛弃它们。我们使用类似于Harris Corner检测中所使用的方法来去除位于边界上的特征，通过检测亮度来去除低对比度的特征。移除低对比度的特征
如果从DoG图像中检测到的特征点的亮度值少于某个值，那么该特征点就被拒绝。因为我们已经得到子像素的特征点（极大或极小像素点），我们可以得到子像素的亮度，如果亮度少于某个值，那么就拒绝它。
移除边界特征
要想移除边界特征，我们要计算特征点附近高斯模糊图像的梯度。基于特征点附近的图像，有三种可能的特征：
1. 平坦特征
该特征两个方向的梯度值都很小。
2. 边界特征
该特征一个方向的梯度值很大（垂直于边界的方向），另一个方向的梯度值很小（沿着边界的方向）。
3. 直角特征
该特征两个方向的梯度值都很大。
直角特征是很好的特征点，所以我们想得到直角特征，如果特征点的两个方向的梯度值都很大，那么就让它通过，否则就拒绝它。这可以通过Hessian矩阵实现，使用这个矩阵我们可以很容易地检测它是不是直角特征。在SIFT算法中，不需要像Harris corner检测直接计算Hessian矩阵的两个特征值，而只需要计算两个特征值的积与和的比率。
实现细节
下面用例子来说明，如图2.9所示。 图2.9 在所有特征点中筛选出直角特征点
两个包含特征点的图依次通过这两个测试：对比度测试和边界测试，并去掉未通过测试的特征点。
2.5 分配特征点的方向
在上个步骤，我们得到了合理的特征点，并且这些特征点被测试是在位置上稳定的，容易识别匹配的。由于我们已经知道特征点是在哪个尺度被检测到的，所以这些特征点也是尺度不变的。接下来要对每个特征点赋一个方向，以使这些特征点具有旋转不变性。特征点所拥有的不变性越多越好。特征点的方向
在每个特征点周围计算图像的梯度方向和大小，我们可以得到最显著的方向，并且将该方向赋给该特征点。后面的操作都相对该方向进行计算，确保了旋转不变性。
图2.10 将高斯模糊图像分解为梯度大小图和方向图
在特征点附近，我们创建一个方向收集区域来控制该特征点影响的范围，方向收集区域的大小依赖于它所在图像的尺度，尺度越大，收集的区域越大。在方向收集区域中每个像素点的梯度大小和方向用下面的公式计算，从而得到另外两幅图，分别是梯度的大小图和方向图。
我们用一个直方图来统计方向收集区域中像素的平均方向，在该直方图中，将360度的方向分成36个bins，每个bin包含10度。假设方向收集区域中某个像素点的梯度方向是18.75度，把它放入10-19度的bin中，并且加入到bin中的量与该像素点的梯度大小成正比。
一旦对方向收集区域中的每个像素点都执行了这个操作后，直方图在某个bin上出现最高峰值。如图2.11直方图的最高峰值在20-29度，所以特征点的方向被赋值为3（第三个bin）。并且所有大于最高峰80%的峰值也被转化为一个新的特征点，这个新的特征点和原来的特征点一样拥有相同的位置和尺度，但是新特征点的方向是另一个峰值。所以方向将一个特征点分为多个特征点。 图2.11 特征点的方向收集区域中的直方图
实现细节
如前面所述，在直方图的统计方向的过程中，需要往相应的bin中加入与当前像素梯度相关的量，这个量应是将图2.10中的梯度大小图进行1.5倍图像尺度量的高斯模糊后的梯度大小值。
方向收集区域的窗口大小等于1.5倍图像尺度量的高斯窗口的大小。
2.6 生成SIFT描述子
这是SIFT算法的最后一步，现在我们已经得到了拥有尺度不变性和旋转不变性的特征点，接下来要为每个特征点创建一个唯一标识它的“指纹”，SIFT算法作者将它称为SIFT描述子(descriptor)。所生成的SIFT描述子既要能让相同场景中图像的特征点能够正确匹配，而且还要让不同场景中图像的特征点能够正确区分。为了得到这样的SIFT描述子，我们将特征点周围16*16的窗口分解为16个4*4的子窗口，图2.12显示了分解的过程。在每个4*4的子窗口中，计算出梯度的大小和方向，并用一个8个bin的直方图来统计子窗口的平均方向，如图2.13所示。 图2.12 将特征点周围16*16的窗口分解为16个4*4的子窗口
图2.13每个子窗口创建一个8 bin的直方图
梯度方向在0-44度范围的像素点被放到第一个bin中，45-89度范围的像素点被放到下一个bin中，依此类推。同样加入到bin中的量依赖于该像素点梯度的大小。与之前不同的是，加入的量不仅与像素点的梯度大小相关，而且还依赖离特征点的距离，这样远离特征点的像素点会加入较少的量到直方图中。这通过一个高斯加权函数来实现，这个函数生成一个加权值（像一个二维的钟形曲线），用它乘以16*16的窗口中每个像素点的梯度大小，得到加权后的梯度大小，距离特征点越远，要加入直方图的像素点的梯度大小越小。
这样每个4*4的子窗口都对应一个8 bin的直方图，且直方图中加入的值是像素的用高斯加权后的梯度大小，而特征点周围16*16的窗口中包含16个4*4的子窗口，共有16*8=128个数，然后将这128个数组成的向量进行单位化，单位化后的128维向量就是SIFT的描述子。
实现细节
在最后得到SIFT描述子前，我们还要处理两个问题：旋转依赖和亮度依赖。
由于SIFT描述子中包含梯度方向信息，如果我们旋转图像，那么所有的梯度方向都会改变。为了实现旋转不变性，要使用2.5中计算出的特征点方向，在使用每个4*4子窗口中像素的梯度方向时，要先减去特征点方向。
由于某些图像亮度变化较大，这可能会导致特征点周围像素的梯度大小变化过大，也就是说在单位化后的SIFT描述子中某些维度的量要远大于其它维度的量。为了减少亮度的依赖，我们将128维SIFT描述子中大于0.2的维度量截取为0.2，并对最后的128为描述子再做一次单位化。
通过这系列操作，我们最后得到了具有位置稳定、尺度不变性、旋转不变性和较少亮度依赖的SIFT描述子。
三、程序说明
下面是程序的截图，从图中找到了657个具有稳定位置的特征点，为此丢弃了1437个对比度低的特征点或边界特征点。在特征点方向的计算中，将具有稳定位置的特征点进行分离，增加了特征点的数量，产生了1161个的特征点。
左图是原始输入的图像，右图是显示了657个稳定特征点的位置，关联的直线的方向表示最大的梯度方向（未显示其它方向的特征点），直线的长度是10倍的最大梯度大小。
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